《高等数学二》课程教学大纲
《高等数学二》课程教学大纲
课程名称：高等数学二
英文名称：Higher Mathematics 2
课程类型：公共平台课
总学时及学分：64学时 4学分
适应对象：本科一年级（工科类专业）
主要先修课程：高等数学一
执行日期：2017年9月
一、 课程的性质与任务
性质：本课程是高等学校工科类专业重要的公共平台课，其学习事关学生后继课程的学习，事关学生学习目标的确定及学生未来的中长期发展。本课程学习结束后，以此为出发点，学生才能进入相关课程的学习阶段。课程基础性、理论性强，与相关课程的学习联系密切，是全国硕士研究生入学考试统考科目之一。
任务：通过本课程学习，一方面向学生传授数学思想，提高学生的逻辑推理、量化思维能力和空间想象能力，培养学生的创新意识；另一方面通过各个教学环节逐步培养学生抽象概括问题的能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。
二、 课程的教学目标
本课程教学的总体目标是：通过本课程的学习，使学生系统地获得空间解析几何、多元函数微分学、重积分、曲线积分与曲面积分与无穷级数的基本理论、基本分析和运算方法，为学习工科类专业的专业课程和进一步扩大数学知识奠定必要的数学基础。
三、 教学内容及其基本要求
(一) 常微分方程
1.可降阶的高阶微分方程
型的微分方程 型的微分方程 型的微分
方程
2.高阶线性微分方程
二阶线性微分方程举例 线性微分方程解的结构
3.常系数齐次线性微分方程
二阶常系数齐次线性微分方程 特征方程
(二) 空间解析几何与向量代数
1.向量及线性运算
向量的概念 向量的线性运算 空间直角坐标系 利用坐标作向量的线性运算 向量的模、方向角、投影
2.数量积 向量积
两向量的数量积 两向量的向量积 向量的混和积
3.平面及其方程
曲面方程与空间曲线方程的概念 平面的点法式方程 平面的一般方程 两平面的夹角
4.空间直线及其方程
空间直线的一般方程 空间直线的对称式方程与参数方程 两直线的夹角 直线与平面的夹角 杂例
5.曲面及其方程
曲面研究的基本问题 旋转曲面 柱面 二次曲面
6.空间曲线及其方程
空间曲线的一般方程 空间曲线的参数方程 空间曲线在坐标面上的投影
教学基本要求：理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示；掌握向量的运算（线性运算、点乘法、叉乘法），了解两个向量垂直、平行的条件；掌握单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法；掌握平面方程；理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，了解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。
教学重点：向量的线性运算、数量积、向量积；向量的模、方向角、方向余弦及两向量垂直和平行的条件；平面方程和直线方程的建立；平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的相互位置关系的判定条件；点到直线以及点到平面的距离；旋转曲面方程、母线平行于坐标轴的柱面方程的建立；空间曲线的参数方程和一般方程；常用二次曲面的方程及其图形。
教学难点：向量积的运算；平面方程和直线方程的建立；点到直线的距离；二次曲面图形；旋转曲面的方程。
(三) 多元函数微分法及其应用
1.多元函数的基本概念
平面点集 多元函数的概念 多元函数的极限 多元函数的的连续性
2.偏导数
偏导数的定义及其计算法 高阶偏导数
3.全微分
全微分的定义 全微分在近似计算中的应用
4.多元复合函数的求导法则
一元函数与多元函数复合的情形 多元函数与多元函数复合的情形 其他情形
5.隐函数的求导公式
一个方程的情形 方程组的情形
6.多元函数微分学的几何应用
一元向量值函数及其导数 空间曲线的切线与法平面 曲面的切平面与法线
7.方向导数与梯度
方向导数 梯度
8.多元函数的极值及其求法
多元函数的极值及最大值与最小值 条件极值 拉格朗日乘数法
教学基本要求：理解多元函数的概念；了解二元函数的极限与连续的概念；了解有界闭区域上连续函数的性质；理解偏导数和全微分的概念；了解全微分在近似计算中的应和，掌握高阶偏导数的计算；了解全微分存在的必要和充分条件；掌握复合函数一阶偏导数的求法；掌握多元函数求导的链式法则；会求复合函数的二阶偏导数；会求隐函数（包括由两个方程组成的方程组确定的隐函数）的偏导数；了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线，并会求出它们的方程；理解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值，了解求条件极值的拉格朗日乘数法，会求解一些较为简单的最大值和最小值的应用问题。
教学重点：二元函数的极限与连续性；多元函数的偏导数和全微分；多元复合函数偏导数；隐函数的偏导数；多元函数极值和条件极值的求法。
教学难点：二元函数的极限与连续性的概念；全微分形式的不变性；复合函数偏导数的求法；隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数；拉格朗日乘数法；多元函数的最大值和最小值。
(四) 重积分
1.二重积分的概念与性质
二重积分的概念 二重积分的性质
2.二重积分的计算法
利用直角坐标计算二重积分 利用极坐标计算二重积分 二重积分的换元法
3.三重积分
三重积分的概念 三重积分的计算
4.重积分的应用
曲面的面积 质心 转到惯量 引力
教学基本要求：理解二重积分、三重积分的概念；了解二重积分、三重积分的性质；掌握二重积分的计算方法直角坐标、极坐标），了解三重积分的计算方法（直角坐标柱面坐标、球面坐标）；会计算二重积分与三重积分，会用重积分求曲面的面积。
教学重点：二重积分的概念及其几何意义，二重积分的计算，三重积分化为累次积分计算，对弧长的曲线积分与对面积的曲面积分的概念及其物理意义与计算。
教学难点：利用极坐标计算二重积分；三重积分的计算。
(五) 曲线积分与曲面积分
1.对弧长的曲线积分
对弧长的曲线积分的概念与性质 对弧长的曲线积分的计算法
2.对坐标的曲线积分
对坐标的曲线积分的概念与性质 对坐标的曲线积分的计算法 两类曲线积分之间的联系
3.格林公式及其应用
格林公式 平面上曲线积分与路径无关的条件 二元函数的全微分求积 曲线积分的基本定理
4.对面积的曲面积分
对曲面的曲面积分的概念与性质 对面积的曲面积分的计算法
5.对坐标的曲面积分
对坐标的曲面积分的概念与性质 对坐标的曲面积分的计算法 两类曲面积分之间的联系
6.高斯公式
高斯公式 沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 通量与散度
7.斯托克斯公式
斯托克斯公式 空间曲线积分与路径无关的条件 环流量与旋度
教学基本要求：理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分之间的关系；会计算两类曲线积分；掌握格林（Green）公式；会使用平面曲线积分与路径无关的条件；了解两类曲面积分的概念及高斯（Gauss）公式，斯托克斯（Stokes）公式，并会计算两类曲面积分；了解散度、旋度的概念及其度计算方法；会利用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（如体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功等）。
教学重点：两类曲线积分的概念及计算；对坐标的曲线积分的概念与物理意义及其计算，格林公式的应用，平面上曲线积分与路径无关的条件。
教学难点：第二类曲线、曲面积分；高斯公式的应用。
(六) 无穷级数
1.常数项级数的概念和性质
常数项级数的概念 收敛级数的基本性质 柯西审敛原理
2.常数项级数的审敛法
正项级数及其审敛法 交错级数及其审敛法 绝对收敛与条件收敛 绝对收敛级数的性质
3.幂级数
函数项级数的概念 幂级数及其收敛性 幂级数的运算
4.函数展开成幂级数
泰勒级数 泰勒展开式 麦克劳林级数 麦克劳林展开式
5.函数的幂级数展开式的应用
近似计算 微分方程的幂级数解法 欧拉公式
7.傅里叶级数
三角级数 三角函数系的正交性 函数展开成傅里叶级数 正弦级数和余弦级数
教学基本要求：理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件；掌握几何级数和P-级数的收敛性；了解正项级数的比较审敛法，掌握正项级数的比值审敛法；了解交错级数的莱布尼茨定理；了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系；了解函数项级数的收敛域及和函数的概念；掌握比较简单的幂级数收敛区间的求法（区间端点的收敛性可不作要求）；了解幂级数的连续性、逐项微分和逐项积分等性质；了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件，并能利用这些性质求一些幂级数的和函数与某些数项级数的和；了解泰勒级数与余项公式；掌握基本初级函数的泰勒展开。
教学重点：无穷级数概念及其性质；正项级数收敛的基本定理和收敛的判别法；交错级数的绝对收敛和条件收敛；幂级数的概念；泰勒级数；泰勒公式；函数的幂级数展开。
教学难点：正项级数收敛的基本定理和收敛的判别法；函数的幂级数展开式。
四、 各教学环节学时分配
五、 教学建议
授课过程中，注重重点和难点的透彻讲解，结合习题的练习、分析、讲解，巩固对基础理论的理解，同时根据学情适当微调教学内容，对于偏难的证明内容可以省略，增加计算题的练习。
六、 考核评价方法及要求
本课程以对学生高等数学基础知识和应用能力的考核为主线，学生最终成绩采用平时成绩、测验成绩和期末考试成绩相结合的方式。
平时成绩是指任课教师通过记录每个学生上课出勤情况、课堂表现、作业情况等形式给出的成绩，占总评成绩的30%。
测验成绩是指在教学过程中通过对学生进行课堂测验而形成的成绩，测验共分4次，占总评成绩的20%。
期末考试作为一种定量测试手段，这种考试以评价学生综合应用高等数学知识解决实际问题的能力为主，期末考试成绩占总评成绩的50%。
七、 教材与主要教学参考资源
教材
1.同济大学数学系编：高等数学（下册）第七版，高等教育出版社, 2014
参考资料
1.华东师范大学数学系：数学分析，高等教育出版社，2009
2.同济大学数学系编：高等数学习题全解指南第一版, 高等教育出版社，2014
5.张华隆，周朝晖，董力强：高等数学，同济大学出版社，2017
7.西北工业大学高等数学教材编写组：高等数学（上下册），科学出版社，2017
制定者：窦林立 2017年8月
审核者：张 曼 2017年8月
批准者：刘金宪 2017年8月
